Supersymmetri og teknologi

Beviset ble publisert i november i det meget velrenommerte Journal of High Energy Physics (JOURNAL OF HIGH ENERGY PHYSICS, Volume 2011, Number 11, 59, DOI: 10.1007/JHEP11(2011)059)

Bjørn Jensen er eneforfatter på dette arbeidet.  Dette er ikke helt vanlig ved HiVe på dette nivået!

Det er bare fargene vi ser

Kvantemekanisk styres oppførselen til en partikkel (partikkelens dynamikk) av blant annet et potensial.  Slike potensial er uttrykk for ’kreftene’ som virker på partikkelen. Et potensial er en reell funksjon (en funksjon som gir oss reelle tall) av partikkelens posisjon i rom og tid og partikkelens bevegelsestilstand.

Ulike potensial gir generelt opphav til ulike krefter som virker på partikkelen, forklarer Bjørn Jensen. Den negative endringen av potensialfunksjonen i de tre romlige retningene (gradienten til potensialet multiplisert med -1) gir oss uttrykk for komponentene til kraften som virker på partikkelen i de tre retningene.

Det for mange kjente Coloumb-potensialet beskriver for eksempel kreftene som virker på elektronet i et hydrogenatom. Coloumb-potensialet binder elektronet til protonet som utgjør hydrogenatomets kjerne. Vi sier at elektronet befinner seg i en ’bundet’ tilstand. Partikler som befinner seg i bundne tilstander kan bare befinne seg i bestemte energinivåer.

 - I hydrogenatomet kommer dette til uttrykk ved at atomet bare kan sende ut lys med bestemte farger (frekvenser), fortsetter Jensen. 

- Fargene er uttrykk for energiforskjellen mellom energinivåene elektronet kan befinne seg i. 

Det interessante, sett både fra et matematisk så vel som fra et mer filosofisk perspektiv, er at det vi naturlig observerer i forbindelse med spekteret til hydrogen er farger. Vi observerer spesielt ikke potensialet som er med å bestemme elektronets dynamikk. Potensialet er en ren abstrakt matematisk konstruksjon.

Generelt vil ulike potensial resultere i ulike krefter på partikler. Men, betyr dette at energinivåene til budne partikler også vil endre seg når vi endrer potensialene partiklene vekselvirker med?

- Svaret på dette spørsmålet er ikke åpenbart gitt. Det er derfor nærliggende å stille det følgende metodiske spørsmålet: Gitt alle farger hydrogenatomet kan sende ut (spekteret til atomet), hvor mange ulike potensial kan benyttes til å beskrive hele dette spekteret?

Isospektrale deformasjoner – finn en algoritme

Problemstillinger av typen ovenfor har gitt opphav til et eget forskningsfelt innen kvantemekanikk som kalles teorien for isospektrale deformasjoner. 

Deler av teorien for isospektrale deformasjoner er opptatt av følgende generelle problemstilling: Gitt alle energinivåene en bundet partikkel kan befinne seg i (ett energispektrum) og ett potensial som kan generere dette. Hvilke andre potensialer kan vi konstruere som gir opphave til eksakt det samme energispektrumet og som samtidig er kontinuerlig forbundet til det opprinnelige kjente potensialet?

Slike andre potensialer kaller vi isospektrale deformasjoner av det opprinnelige potensialet.  Selve deformasjonen vi snakker om er en matematisk prosedyre (algoritme) som i prinsippet spesielt kan benyttes på ethvert fysisk potensial i en naturvitenskapelig eller teknologisk sammenheng, og generelt på enhver skalar funksjon. Forskningen på isospektrale deformasjoner går primært ut på å finne slike algoritmer.

Supersymmetrisk kvantemekanikk

- Et viktig verktøy innen feltet for isospektral deformasjonsteori er en formulering av kvantemekanikk som kalles supersymmetrisk kvantemekanikk.  Denne formuleringen ble første gang publisert i 1981 av den kjente teoretikeren Edward Witten, og ikke lenge etter kom hovedresultatet om isospektrale deformasjoner i kvantefysikk. 

- Det ble vist, noe som senere også er blitt mer rigid bevist matematisk, at det finnes bare én algoritme – eller med andre ord bare én isospektral deformasjon - som generer nye potensialer fra et kjent potensial slik at energispekteret hele tiden er det samme.

Algoritmen er karakterisert av en reell parameter (et reelt tall) som måler graden av deformasjonen vekk fra det opprinnelige potensialet. 

Bjørn Jensens arbeid beviser at denne konklusjonen bare er en delvis sannhet. Han beviser spesielt matematisk at denne algoritmen bare er en del av en langt større familie av deformasjoner som generelt karakteriseres av tre reelle parametere.

Dette gjør han ved å utlede eksplisitte matematiske uttrykk for algoritmene som utgjør denne større familien av deformasjoner. Jensens arbeid åpner også samtidig opp for at denne treparameter familien igjen lever inne i enda større familier av deformasjoner.

Er rommet enda større?

Et interessant matematisk aspekt ved Jensens arbeid er at det utnytter at den såkalte generaliserte Riccati likningen som fremkommer i hans arbeid er en ikke-lineær differensiallikning.  Det er dette som sammenliknet med tidligere arbeider innen feltet gjør at den større tre-parameterfamilien av deformasjoner fremtrer. 

Tidligere arbeider har formulert problemstillingen slik at den generaliserte Riccati likningen ikke har fremkommet og dermed har tidligere forskning innen dette feltet mistet de rike matematiske strukturene som ligger gjemt i denne likningen.

Teorien for ikke-lineære differensiallikninger er særlig vanskelig. Derfor er heller ikke siste ord i denne saken skrevet.  Løsningsrommet til slike likninger er generelt dårlig forstått, og Jensens arbeid beviser ikke hans utvidelse av de isospektrale deformasjonene er den største mulige. 

Mer forskning er med andre ord nødvendig før en endelig konklusjon angående strukturen til de isospektrale deformasjonene kan trekkes. Rent matematisk er dette en interessant felt også fordi Jensens arbeid har demonstrert at teoriene for den generaliserte Riccati likningen, Darboux-transformasjoner og Sturm-Liouville likningen (alle klassiske områder innen teorien for differensiallikninger) knyttes naturlig sammen i supersymmetrisk teori på en uventet måte. Det er høyst uklart hvorfor dette skjer på den måten som Jensens arbeid avslører.

Anvendt nanoteknologi og teoretisk matematikk

Den fysiske verden er dypest sett kvantemekanisk (kanskje med unntak av gravitasjon). Dette gjør at teorien for isospektrale deformasjoner kan finne anvendelser nær sagt i enhver fysisk sammenheng.

Jensen arbeider for tiden med å anvende deformasjonene han har fremskaffet til å studere kvantefysikken knyttet til vilkårlige trådliknende nano-strukturer.  Fysikken knyttet til slike tråder er generelt dårlig forstått samtidig som nano-tråder er av største teknologiske betydning.

Eksempler på teknisk og teknologisk nytte av nano-tråder er for eksempel å benytte dem til å skape forbindelser mellom komponenter på mikronivå som regulære elektrisk strømførende ledninger i en kompleks sensor, eller som ledninger som overfører kvantetilstander mellom ulike deler i en kvantedatamaskin. Ved Høgskolen i Vestfold er forskning innen mikro- og nanoteknologi sentralt:

- Ved at vi kan foreta denne type teoretiske beregninger, vil den anvendte forskningen generelt mye raskere og enklere komme opp med gode resultater, påpeker han. – dersom man i praksis skal undersøke et utall muligheter, tar det naturligvis mye mer tid enn om vi på forhånd kan beregne hvilke muligheter som er de optimale, de beste eller de eneste.

Hvordan den nødvendige ’kablingen’ av nano-tråder i en kvantedatamaskin utføres er av sentral betydning for hvordan slike maskiner kan kunne benyttes og for resultatene av beregningene fra slike maskiner.  Isospektrale deformasjoner i tilknytning til slike tråder vil si noe direkte om hvor robuste kvantetilstander i slike tråder er i forhold til fysiske deformasjoner av trådene. Dette er en særlig interessant problemstilling. Store ressurser benyttes internasjonalt i både akademia og industrielt på forskning på nettopp utvikling av kvantedatamaskiner. 

 - Klarer vi å konstruere slike maskiner vil menneskeheten få tilgang til maskiner som kan beregne ting som i realiteten ikke kan beregnes med dagens datateknologi. Det vil få enorm betydning for den videre utviklingen av naturvitenskap, matematikk og teknologi.

(Fullstendig referanse:  JOURNAL OF HIGH ENERGY PHYSICS, Volume 2011, Number 11, 59, DOI: 10.1007/JHEP11(2011)059)